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### 45.4 Funções e Variáveis Definidas específicas para estatística descritiva de várias variáveis

Função: cov (matriz)

  A matriz de covariância da amostra de várias variáveis, definida como

                    n
                   ====
                1  \           _        _
            S = -   >    (X  - X) (X  - X)'
                n  /       j        j
                   ====
                   j = 1

  onde X_j é a j-ésima linha da matriz de amostra.

  Exemplo:

      (%i1) load (descriptive)$
      (%i2) load (numericalio)$
      (%i3) s2 : read_matrix (file_search ("wind.data"))$
      (%i4) fpprintprec : 7$  /* modifique a precisão para obter uma saída melhor */
      (%i5) cov (s2);
            [ 17.22191  13.61811  14.37217  19.39624  15.42162 ]
            [                                                  ]
            [ 13.61811  14.98774  13.30448  15.15834  14.9711  ]
            [                                                  ]
      (%o5) [ 14.37217  13.30448  15.47573  17.32544  16.18171 ]
            [                                                  ]
            [ 19.39624  15.15834  17.32544  32.17651  20.44685 ]
            [                                                  ]
            [ 15.42162  14.9711   16.18171  20.44685  24.42308 ]

  Veja também a função `cov1`.

Função: cov1 (matriz)

  A matriz de covariância da amostra de várias variáveis, definida como

                    n
                   ====
               1   \           _        _
         S  = ---   >    (X  - X) (X  - X)'
          1   n-1  /       j        j
                   ====
                   j = 1

  where X_j is the j-th row of the sample matrix.

  Exemplo:

      (%i1) load (descriptive)$
      (%i2) load (numericalio)$
      (%i3) s2 : read_matrix (file_search ("wind.data"))$
      (%i4) fpprintprec : 7$ /* modifique a precisão para obter uma saída melhor */
      (%i5) cov1 (s2);
            [ 17.39587  13.75567  14.51734  19.59216  15.5774  ]
            [                                                  ]
            [ 13.75567  15.13913  13.43887  15.31145  15.12232 ]
            [                                                  ]
      (%o5) [ 14.51734  13.43887  15.63205  17.50044  16.34516 ]
            [                                                  ]
            [ 19.59216  15.31145  17.50044  32.50153  20.65338 ]
            [                                                  ]
            [ 15.5774   15.12232  16.34516  20.65338  24.66977 ]

  Veja também a função `cov`.

Função: global_variances (matriz)
Função: global_variances (matriz, valor_lógico)

  A função `global_variances` retorna uma lista de medidas de variância global:

  - variância total: `trace(S_1)`,
  - variância média: `trace(S_1)/p`,
  - variância generalizada: `determinant(S_1)`,
  - desvio padrão generalizado: `sqrt(determinant(S_1))`,
  - variância efetiva `determinant(S_1)^(1/p)`, (defined in: Peña, D. (2002) Análisis de datos multivariantes; McGraw-Hill, Madrid.)
  - desvio padrão efetivo: `determinant(S_1)^(1/(2*p))`.

  onde p é a dimensão das várias variáveis aleatórias e S_1 a matriz de covariância retornada por `cov1`.

  Exemplo:

      (%i1) load (descriptive)$
      (%i2) load (numericalio)$
      (%i3) s2 : read_matrix (file_search ("wind.data"))$
      (%i4) global_variances (s2);
      (%o4) [105.338342060606, 21.06766841212119, 12874.34690469686,
               113.4651792608502, 6.636590811800794, 2.576158149609762]

  A função `global_variances` tem um argumento lógico opcional: `global_variances(x,true)` diz ao Maxima que `x` é a matriz de dados, fazendo o mesmo que `global_variances(x)`. Por outro lado, `global_variances(x,false)` significa que `x` não é a matriz de dados, mas a matriz de covariância, evitando a repetição seu cálculo,

      (%i1) load (descriptive)$
      (%i2) load (numericalio)$
      (%i3) s2 : read_matrix (file_search ("wind.data"))$
      (%i4) s : cov1 (s2)$
      (%i5) global_variances (s, false);
      (%o5) [105.338342060606, 21.06766841212119, 12874.34690469686,
               113.4651792608502, 6.636590811800794, 2.576158149609762]

  Veja também `cov` e `cov1`.

Função: cor (matriz)
Função: cor (matriz, valor_lógico)

  A matriz de correlação da maostra de várias variáveis.

  Exemplo:

      (%i1) load (descriptive)$
      (%i2) load (numericalio)$
      (%i3) fpprintprec:7$
      (%i4) s2 : read_matrix (file_search ("wind.data"))$
      (%i5) cor (s2);
            [   1.0     .8476339  .8803515  .8239624  .7519506 ]
            [                                                  ]
            [ .8476339    1.0     .8735834  .6902622  0.782502 ]
            [                                                  ]
      (%o5) [ .8803515  .8735834    1.0     .7764065  .8323358 ]
            [                                                  ]
            [ .8239624  .6902622  .7764065    1.0     .7293848 ]
            [                                                  ]
            [ .7519506  0.782502  .8323358  .7293848    1.0    ]

  A função `cor` tem um argumento lógico opcional: `cor(x,true)` diz ao Maxima que `x` é a matriz de dados, fazendo o mesmo que `cor(x)`. Por outro lado, `cor(x,false)` significa que `x` não é a matriz de dados, mas a matriz de covariância, evitando a repetição de seu cálculo,

      (%i1) load (descriptive)$
      (%i2) load (numericalio)$
      (%i3) fpprintprec:7$
      (%i4) s2 : read_matrix (file_search ("wind.data"))$
      (%i5) s : cov1 (s2)$
      (%i6) cor (s, false); /* this is faster */
            [   1.0     .8476339  .8803515  .8239624  .7519506 ]
            [                                                  ]
            [ .8476339    1.0     .8735834  .6902622  0.782502 ]
            [                                                  ]
      (%o6) [ .8803515  .8735834    1.0     .7764065  .8323358 ]
            [                                                  ]
            [ .8239624  .6902622  .7764065    1.0     .7293848 ]
            [                                                  ]
            [ .7519506  0.782502  .8323358  .7293848    1.0    ]

  Veja também `cov` e `cov1`.

Função: list_correlations (matriz)
Função: list_correlations (matriz, valor_lógico)

  A função `list_correlations` retorna uma lista de medidas de correlação:

  - matriz de precisão: o inverso da matriz de covariância S_1,

               -1     ij
              S   = (s  )
               1         i,j = 1,2,...,p

  - vetor de correlação multipla: (R_1^2, R_2^2, ..., R_p^2), com

               2          1
              R  = 1 - -------
               i        ii
                       s   s
                            ii

    sendo um indicador do melhor do ajuste do modelo de regressão linear de várias variáveis dobre X_i quando o resto das variáveis são usados como regressores.

  - matriz de correlação parcial: como elemento (i, j) sendo

                                 ij
                                s
              r        = - ------------
               ij.rest     / ii  jj\ 1/2
                           |s   s  |
                           \       /

  Exemplo:

      (%i1) load (descriptive)$
      (%i2) load (numericalio)$
      (%i3) s2 : read_matrix (file_search ("wind.data"))$
      (%i4) z : list_correlations (s2)$
      (%i5) fpprintprec : 5$ /* for pretty output */
      (%i6) z[1];  /* precision matrix */
            [  .38486   - .13856   - .15626   - .10239    .031179  ]
            [                                                      ]
            [ - .13856   .34107    - .15233    .038447   - .052842 ]
            [                                                      ]
      (%o6) [ - .15626  - .15233    .47296    - .024816  - .10054  ]
            [                                                      ]
            [ - .10239   .038447   - .024816   .10937    - .034033 ]
            [                                                      ]
            [ .031179   - .052842  - .10054   - .034033   .14834   ]
      (%i7) z[2];  /* multiple correlation vector */
      (%o7)       [.85063, .80634, .86474, .71867, .72675]
      (%i8) z[3];  /* partial correlation matrix */
             [  - 1.0     .38244   .36627   .49908   - .13049 ]
             [                                                ]
             [  .38244    - 1.0    .37927  - .19907   .23492  ]
             [                                                ]
      (%o8)  [  .36627    .37927   - 1.0    .10911    .37956  ]
             [                                                ]
             [  .49908   - .19907  .10911   - 1.0     .26719  ]
             [                                                ]
             [ - .13049   .23492   .37956   .26719    - 1.0   ]

  A função `list_correlations` também tem um argumento lógico opcional: `list_correlations(x,true)` diz ao Maxima que `x` é a matriz de dados, fazendo o mesmo que `list_correlations(x)`. Por outro lado, `list_correlations(x,false)` significa que `x` não é a matriz de correlação, mas a matriz de covariancia, evitando a repetição de seu cálculo.

  Veja também `cov` e `cov1`.

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