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### 15.3 Funktionen und Variablen für Reihen

Funktion: deftaylor (f_1(x_1), expr_1, …, f_n(x_n), expr_n)

  Für eine Funktion f_i einer Variablen x_i definiert `deftaylor` den Ausdruck expr_i als die Taylorreihe um den Nullpunkt. expr_i ist typischerweise ein Polynom in der Variablen x_i oder eine Summe. `deftaylor` akzeptiert aber auch allgemeinere Ausdrücke.

  `powerseries(f_i(x_i), x_i, 0)` gibt die Reihe zurück, die mit `deftaylor` definiert wurde.

  `deftaylor` gibt eine Liste der Funktionen f_1, …, f_n zurück. `deftaylor` wertet die Argumente aus.

  Siehe auch `taylor` und `powerseries`.

  Beispiele:

      (%i1) deftaylor (f(x), x^2 + sum(x^i/(2^i*i!^2), i, 4, inf));
      (%o1)                          [f]
      (%i2) powerseries (f(x), x, 0);

                            inf
                            ====      i1
                            \        x         2
      (%o2)                  >     -------- + x
                            /       i1    2
                            ====   2   i1!
                            i1 = 4

      (%i3) taylor (exp (sqrt (f(x))), x, 0, 4);
                            2         3          4
                           x    3073 x    12817 x
      (%o3)/T/     1 + x + -- + ------- + -------- + . . .
                           2     18432     307200

Optionsvariable: maxtayorder

  Standardwert: `true`

  Hat `maxtayorder` den Wert `true`, werden bei der algebraischen Manipulation von Taylor-Reihen, von der Funktion `taylor` so viele Terme wie möglich mitgeführt.

Funktion: pade (taylor_series, numer_deg_bound, denom_deg_bound)

  Gibt eine Liste aller rationalen Funktionen zurück, die die angegebene Taylor-Reihenentwicklung haben und deren Summe des Nennergrads und des Zählergrads kleiner oder gleich des Grads der Reihenentwicklung ist.

  Das Argument taylor_series ist eine Taylor-Reihe in einer Variablen. Die Argumente numer_deg_bound und denom_deg_bound sind positive ganze Zahlen, die eine Grenze für den Nennergrad und den Zählergrad der rationalen Funktion angeben.

  Die Taylor-Reihe kann auch eine Laurent-Reihe sein und die Grenzen für den Grad können `inf` sein.

  Siehe auch `taylor`.

  Beispiele:

      (%i1) taylor (1 + x + x^2 + x^3, x, 0, 3);
                                    2    3
      (%o1)/T/             1 + x + x  + x  + . . .
      (%i2) pade (%, 1, 1);
                                       1
      (%o2)                       [- -----]
                                     x - 1
      (%i3) t: taylor(-(83787*x^10 - 45552*x^9 - 187296*x^8
                         + 387072*x^7 + 86016*x^6 - 1507328*x^5
                         + 1966080*x^4 + 4194304*x^3 - 25165824*x^2
                         + 67108864*x - 134217728)
               /134217728, x, 0, 10);

                          2    3       4       5       6        7
                   x   3 x    x    15 x    23 x    21 x    189 x
      (%o3)/T/ 1 - - + ---- - -- - ----- + ----- - ----- - ------
                   2    16    32   1024    2048    32768   65536

                                        8         9          10
                                  5853 x    2847 x    83787 x
                                + ------- + ------- - --------- + . . .
                                  4194304   8388608   134217728

      (%i4) pade (t, 4, 4);
      (%o4)                          []

  Es gibt keine rationale Funktion des Grads 4 im Zähler und Nenner für die oben angegebene Taylor-Reihenentwicklung. Die Summe des Zählergrads und des Nennergrads müssen mindestens gleich dem Grad der Reihenentwicklung sein. In diesem Fall ist der Grad der Taylor-Reihenentwicklung `10`.

      (%i5) pade (t, 5, 5);

                           5                4                 3
      (%o5) [- (520256329 x  - 96719020632 x  - 489651410240 x

                        2
       - 1619100813312 x  - 2176885157888 x - 2386516803584)

                     5                 4                  3
      /(47041365435 x  + 381702613848 x  + 1360678489152 x

                        2
       + 2856700692480 x  + 3370143559680 x + 2386516803584)]

Funktion: powerseries (expr, x, a)

  Gibt eine geschlossene Form für die Reihenentwicklung des Ausdrucks expr in der Variablen x um den Punkt a zurück. Das Argument a kann die Werte `inf` oder `infinity` haben. Die Reihenentwicklung für eine Funktion `f(x)` hat die allgemeine Form:

                        inf
                        ====
                        \               n
             f(x) =      >    b  (x - a)
                        /      n
                        ====
                        n = 0

  Mit den Koeffzienten:

                           !
                  d        !
                  -- (f(x))!
                  dn       !
                           !x = a
             b  = ---------------
              n         n!

  Kann die Funktion `powerseries` keine Reihenentwicklung für den Ausdruck expr finden, können möglicherweise mit der Funktion `taylor` die ersten Terme der Reihenentwicklung berechnet werden.

  Hat die Optionsvariable `verbose` den Wert `true`, werden Meldungen zu den verwendeten Algorithmen von der Funktion `powerseries` angezeigt.

  Beispiel:

      (%i1) verbose: true$

      (%i2) powerseries (log(sin(x)/x), x, 0);
      trigreduce: can't expand
                       log(sin(x))

      trigreduce: try again after applying the rule:
                                       d
                                     / -- (sin(x))
                                     [ dx
                       log(sin(x)) = I ----------- dx
                                     ]   sin(x)
                                     /

      powerseries: first simplification returned

                                      /
                                      [
                           - log(x) + I cot(x) dx
                                      ]
                                      /

                 inf
                 ====        i1  - 1 + 2 i1             2 i1
                 \      (- 1)   2           bern(2 i1) x
      (%o2)       >     ------------------------------------
                 /                   i1 (2 i1)!
                 ====
                 i1 = 1

Option variable: psexpand

  Default value: `false`

  When `psexpand` is `true`, an extended rational function expression is displayed fully expanded. The switch `ratexpand` has the same effect.

  When `psexpand` is `false`, a multivariate expression is displayed just as in the rational function package.

  When `psexpand` is `multi`, then terms with the same total degree in the variables are grouped together.

Funktion: revert (expr, x)
Funktion: revert2 (expr, x, n)

  Die Funktion `revert` berechnet eine Taylorreihe in der Variablen x um den Entwicklungspunkt Null, die der Taylorreihe der inversen Funktion entspricht, die von der Taylorreihe expr repräsentiert wird. Das Ergebnis ist ein Polynom in einer CRE-Darstellung mit dem Grad der höchsten Potenz im Ausdruck expr.

  Die Funktion `revert2` entspricht der Funktion `revert` mit dem Unterschied, dass mit dem dritten Argument n der Grad der neuen Taylorreihe explizit angegeben werden kann. Dieser kann kleiner oder größer als der Grad der Taylorreihe expr sein.

  Mit dem Kommando `load(revert)` werden die Funktionen geladen.

  Siehe auch die Funktion `taylor`.

  Beispiel:

  Die Inverse der Funktion `exp(x) - 1` ist die Funktion `log(x+1)`. Mit dem Kommando `revert(taylor(exp(x) - 1, x, 0, 6), x)` wird die Taylorreihe der Inversen `log(x+1)` berechnet.

      (%i1) load (revert)$
      (%i2) t: taylor (exp(x) - 1, x, 0, 6);
                         2    3    4    5     6
                        x    x    x    x     x
      (%o2)/T/      x + -- + -- + -- + --- + --- + . . .
                        2    6    24   120   720
      (%i3) revert (t, x);
                     6       5       4       3       2
                 10 x  - 12 x  + 15 x  - 20 x  + 30 x  - 60 x
      (%o3)/R/ - --------------------------------------------
                                      60
      (%i4) ratexpand (%);
                           6    5    4    3    2
                          x    x    x    x    x
      (%o4)             - -- + -- - -- + -- - -- + x
                          6    5    4    3    2
      (%i5) taylor (log(x+1), x, 0, 6);
                          2    3    4    5    6
                         x    x    x    x    x
      (%o5)/T/       x - -- + -- - -- + -- - -- + . . .
                         2    3    4    5    6
      (%i6) ratsimp (revert (t, x) - taylor (log(x+1), x, 0, 6));
      (%o6)                           0
      (%i7) revert2 (t, x, 4);
                                4    3    2
                               x    x    x
      (%o7)                  - -- + -- - -- + x
                               4    3    2

Funktion: taylor (expr, x, a, n)
Funktion: taylor (expr, [x_1, x_2, …], a, n)
Funktion: taylor (expr, [x, a, n, 'asymp])
Funktion: taylor (expr, [x_1, x_2, …], [a_1, a_2, …], [n_1, n_2, …])
Funktion: taylor (expr, [x_1, a_1, n_1], [x_2, a_2, n_2], …)

  `taylor(expr, x, a, n)` entwickelt den Ausdruck expr in eine Taylor- oder Laurent-Reihenwicklung in der Variablen x um den Punkt a, die die Terme bis zur Ordnung `(x - a)^n` enthält.

  Hat der Ausdruck expr die Form `f(x)/g(x)` und hat `g(x)` keine Terme bis zur Ordnung n, dann versucht `taylor` den Ausdruck `g(x)` bis zur Ordnung `2 n` zu entwickeln. Treten in der Entwicklung weiterhin keine von Null verschiedenen Terme auf, verdoppelt `taylor` die Ordnung der Entwicklung für `g(x)` so lange, wie die Ordnung kleiner oder gleich `n 2^taylordepth` ist. Siehe auch `taylordepth`.

  `taylor(expr, [x_1, x_2, ...], a, n)` gibt die Reihenentwicklung der Ordnung n in allen Variablen x_1, x_2, … um den Punkt a zurück.

  Die beiden folgenden äquivalenten Kommandos `taylor(expr, [x_1, a_1, n_1], [x_2, a_2, n_2], ...)` und `taylor(expr, [x_1, x_2, ...], [a_1, a_2, ...], [n_1, n_2, ...])` geben eine Reihenentwicklung für die Variablen x_1, x_2, … um den Punkt `(a_1, a_2, ...)` mit den Ordnungen n_1, n_2, … zurück.

  `taylor(expr, [x, a, n, 'asymp])` entwickelt den Ausdruck expr in negativen Potenzen von `x - a`. Der Term mit der größten Ordnung ist `(x - a)^-n`.

  Folgende Optionsvariablen kontrollieren die Berechnung einer Taylorreihe:

  `maxtayorder`

    Hat `maxtayorder` den Wert `true`, werden bei der algebraischen Manipulation von Taylor-Reihen, von der Funktion `taylor` so viele Terme wie möglich mitgeführt.

  `taylordepth`

    Findet `taylor` keine von Null verschiedenen Terme in der Reihenentwicklung, wird die Ordnung der Entwicklung solange erhöht wie sie kleiner oder gleich `2^taylordepth` ist.

  `taylor_logexpand`

    Die Optionsvariable `taylor_logexpand` kontrolliert die Entwicklung von Logarithmusfunktionen, die bei der Reihenentwicklung auftreten. Der Standardwert ist `true` und die Logarithmusfunktionen in einer Reihenentwicklung werden vollständig entwickelt.

  `taylor_order_coefficients`

    Die Optionsvariable `taylor_order_coefficients` kontrolliert die Anordung von Termen in einer Reihenentwicklung. Der Standardwert ist `true` und die Anordung entspricht der kanonischen Darstellung eines Ausdrucks.

  `taylor_truncate_polynomials`

    Hat die Optionsvariable `taylor_truncate_polynomials` den Wert `false`, wird das Ergebnis der Reihenentwicklung eines Polynoms als exakt angenommen.

  `taylor_simplifier`

    Die Funktion zur Vereinfachung der Koeffizienten einer Entwicklung ist in der Optionsvariablen `taylor_simplifier` enthalten. Der Standardwert ist `simplify`. Der Variablen kann eine nutzerdefinierte Funktion zugewiesen werden.

  Mit der Funktion `taylorp` kann getestet werden, ob ein Ausdruck eine Taylorreihe repräsentiert. Die Funktion `taylorinfo` gibt Informationen zu einer Taylorreihe aus. Die spezielle CRE-Form einer Taylorreihe wird mit der Funktion `taytorat` in eine Standardform gebracht. Mit den Funktionen `revert` und `revert2` kann die Taylorreihe einer inversen Funktion berechnet werden.

  Beispiele:

      (%i1) taylor (sqrt (sin(x) + a*x + 1), x, 0, 3);
                                 2             2
                   (a + 1) x   (a  + 2 a + 1) x
      (%o1)/T/ 1 + --------- - -----------------
                       2               8

                                         3      2             3
                                     (3 a  + 9 a  + 9 a - 1) x
                                   + -------------------------- + . . .
                                                 48
      (%i2) %^2;
                                          3
                                         x
      (%o2)/T/           1 + (a + 1) x - -- + . . .
                                         6
      (%i3) taylor (sqrt (x + 1), x, 0, 5);
                             2    3      4      5
                        x   x    x    5 x    7 x
      (%o3)/T/      1 + - - -- + -- - ---- + ---- + . . .
                        2   8    16   128    256
      (%i4) %^2;
      (%o4)/T/                  1 + x + . . .
      (%i5) product ((1 + x^i)^2.5, i, 1, inf)/(1 + x^2);
                               inf
                              /===\
                               ! !    i     2.5
                               ! !  (x  + 1)
                               ! !
                              i = 1
      (%o5)                   -----------------
                                    2
                                   x  + 1
      (%i6) ev (taylor(%, x,  0, 3), keepfloat);
                                     2           3
      (%o6)/T/    1 + 2.5 x + 3.375 x  + 6.5625 x  + . . .
      (%i7) taylor (1/log (x + 1), x, 0, 3);
                                     2       3
                       1   1   x    x    19 x
      (%o7)/T/         - + - - -- + -- - ----- + . . .
                       x   2   12   24    720
      (%i8) taylor (cos(x) - sec(x), x, 0, 5);

                                      4
                                 2   x
      (%o8)/T/                - x  - -- + . . .
                                     6

      (%i9) taylor ((cos(x) - sec(x))^3, x, 0, 5);
      (%o9)/T/                    0 + . . .
      (%i10) taylor (1/(cos(x) - sec(x))^3, x, 0, 5);
                                                     2          4
                  1     1       11      347    6767 x    15377 x
      (%o10)/T/ - -- + ---- + ------ - ----- - ------- - --------
                   6      4        2   15120   604800    7983360
                  x    2 x    120 x

                                                                + . . .
      (%i11) taylor (sqrt (1 - k^2*sin(x)^2), x, 0, 6);
                     2  2       4      2   4
                    k  x    (3 k  - 4 k ) x
      (%o11)/T/ 1 - ----- - ----------------
                      2            24

                                          6       4       2   6
                                     (45 k  - 60 k  + 16 k ) x
                                   - -------------------------- + . . .
                                                720
      (%i12) taylor ((x + 1)^n, x, 0, 4);
                            2       2     3      2         3
                          (n  - n) x    (n  - 3 n  + 2 n) x
      (%o12)/T/ 1 + n x + ----------- + --------------------
                               2                 6

                                     4      3       2         4
                                   (n  - 6 n  + 11 n  - 6 n) x
                                 + ---------------------------- + . . .
                                                24
      (%i13) taylor (sin (y + x), x, 0, 3, y, 0, 3);
                     3                 2
                    y                 y
      (%o13)/T/ y - -- + . . . + (1 - -- + . . .) x
                    6                 2

                          3                       2
                     y   y            2      1   y            3
                + (- - + -- + . . .) x  + (- - + -- + . . .) x  + . . .
                     2   12                  6   12
      (%i14) taylor (sin (y + x), [x, y], 0, 3);

                           3        2      2      3
                          x  + 3 y x  + 3 y  x + y
      (%o14)/T/   y + x - ------------------------- + . . .
                                      6

      (%i15) taylor (1/sin (y + x), x, 0, 3, y, 0, 3);

                1   y              1    1               1            2
      (%o15)/T/ - + - + . . . + (- -- + - + . . .) x + (-- + . . .) x
                y   6               2   6                3
                                   y                    y

                                                 1            3
                                            + (- -- + . . .) x  + . . .
                                                  4
                                                 y

      (%i16) taylor (1/sin (y + x), [x, y], 0, 3);
                                   3         2       2        3
                  1     x + y   7 x  + 21 y x  + 21 y  x + 7 y
      (%o16)/T/ ----- + ----- + ------------------------------- + . . .
                x + y     6                   360

Optionsvariable: taylordepth

  Standardwert: 3

  Findet die Funktion `taylor` keine von Null verschiedenen Terme in der Reihenentwicklung, wird die Ordnung der Entwicklung solange erhöht wie sie kleiner oder gleich `2^taylordepth` ist.

  Siehe auch `taylor`.

Funktion: taylorinfo (expr)

  Gibt Informationen über die Taylorreihe expr zurück. Die Rückgabe ist eine Liste, die Listen mit den Namen der Variablen, den Entwicklungspunkten und den Ordnungen der Entwicklung enthalten.

  Ist expr keine Taylorreihe, ist die Rückgabe `false`.

  Beispiele:

      (%i1) taylor ((1 - y^2)/(1 - x), x, 0, 3, [y, a, inf]);
                        2                       2
      (%o1)/T/ - (y - a)  - 2 a (y - a) + (1 - a )

               2                        2
       + (1 - a  - 2 a (y - a) - (y - a) ) x

               2                        2   2
       + (1 - a  - 2 a (y - a) - (y - a) ) x

               2                        2   3
       + (1 - a  - 2 a (y - a) - (y - a) ) x  + . . .
      (%i2) taylorinfo(%);
      (%o2)               [[y, a, inf], [x, 0, 3]]

Funktion: taylorp (expr)

  Hat den Rückgabewert `true`, wenn das Argument expr eine Taylorreihe ist. Ansonsten ist der Rückgabewert `false`.

Optionsvariable: taylor_logexpand

  Standardwert: `true`

  `taylor_logexpand` kontrolliert die Entwicklung von Logarithmen in einer Taylorreihe. Der Standardwert ist `true` und die Logarithmusfunktionen in einer Reihenentwicklung werden vollständig entwickelt. Ansonsten werden Logarithmusfunktionen so weit entwickelt, wie es notwendig ist, um eine formale Reihenentwicklung zu erhalten.

Optionsvariable: taylor_order_coefficients

  Standardwert: `true`

  Die Optionsvariable `taylor_order_coefficients` kontrolliert die Ordnung der Koeffizienten einer Taylorreihenentwicklung. Hat `taylor_order_coefficients` den Wert `true`, werden die Koeffizienten kanonisch angeordnet.

Optionsvariable: taylor_simplifier

  Standardwert: `SIMPLIFY`

  Die Optionsvariable `taylor_simplifier` enthält den Namen der Funktion, die für die Vereinfachung der Koeffizienten einer Taylorreihenentwicklung von `taylor` aufgerufen wird. Der Standardwert ist die Lisp-Funktion `SIMPLIFY`.

Optionsvariable: taylor_truncate_polynomials

  Standardwert: `true`

  Hat die Optionsvariable `taylor_truncate_polynomials` den Wert `false`, wird das Ergebnis der Reihenentwicklung eines Polynoms als exakt angenommen.

  Beispiel:

      (%i1) taylor(x^6+x^4+x^2,x,0,4),taylor_truncate_polynomials:true;
                                2    4
      (%o1)/T/                 x  + x  + . . .
      (%i2) taylor(x^6+x^4+x^2,x,0,4),taylor_truncate_polynomials:false;
                                    2    4
      (%o2)/T/                     x  + x

Funktion: taytorat (expr)

  Konvertiert den Ausdruck expr von der speziellen Darstellung einer Taylorreihenentwicklung in eine CRE-Form.

  Beispiel:

      (%i1) taylor(atan(x),x,0,5);
                                  3    5
                                 x    x
      (%o1)/T/               x - -- + -- + . . .
                                 3    5
      (%i2) taytorat(%);

                                5      3
                             3 x  - 5 x  + 15 x
      (%o2)/R/               ------------------
                                     15

Funktion: trunc (expr)

  Die Rückgabe der Funktion `trunc` ist ein Ausdruck, der das Argument expr in der Ausgabe wie eine Taylorreihenentwicklung anzeigt. Der Ausdruck expr wird ansonsten nicht modifiziert.

  Beispiel:

      (%i1) expr: x^2 + x + 1;
                                  2
      (%o1)                      x  + x + 1
      (%i2) trunc (expr);
                                      2
      (%o2)                  1 + x + x  + . . .
      (%i3) is (expr = trunc (expr));
      (%o3)                         true

Optionsvariable: verbose

  Standardwert: `false`

  Hat die Optionsvariable `verbose` den Wert `true`, werden von der Funktion `powerseries` Meldungen über die verwendeten Algorithmen ausgegeben.

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