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#### 10.5.2 Funktionen und Variablen für Winkelfunktionen

Funktion: asin (z)
Funktion: acos (z)
Funktion: atan (z)
Funktion: acot (z)
Funktion: acsc (z)
Funktion: asec (z)

  Die inversen Winkelfunktionen: Arkussinus, Arkuskosinus, Arkustangens, Arkuskotangens, Arkuskosekans und Arkussekans.

  Die inversen Winkelfunktionen sind für das numerische und symbolische Rechnen geeignet. Die inversen Winkelfunktionen können für reelle und komplexe Gleitkommazahlen in doppelter und in beliebiger Genauigkeit berechnet werden. Ist das Argument eine ganze oder rationale Zahl, werden die inversen Winkelfunktionen nicht numerisch berechnet, sondern vereinfacht. Die numerische Berechnung kann mit den Optionsvariablen und Auswertungsschaltern `numer` und `float` erzwungen werden.

  Die inversen Winkelfunktionen sind bis auf die Funktionen `acos` und `asec` als ungerade definiert. Die Funktionen `acos` und `asec` vereinfachen für ein negatives Argument `-x` zu `%pi-acos(x)` und `%pi-asec(x)`. Für die inversen Winkelfunktion `asin`, `acos` und `atan` ist die Spiegelsymmetrie für den Fall implementiert, dass das komplexe Argument `x+%i*y` einen Realteil `abs(x)<1` hat.

  Ist das Argument z eine Matrix, eine Liste oder eine Gleichung werden die inversen Winkelfunktionen auf die Elemente der Matrix, der Liste oder auf die beiden Seiten der Gleichung angewendet. Dieses Verhalten wird von der Optionsvariablen `distribute_over` kontrolliert.

  Inverse Winkelfunktionen können für das symbolische Rechnen verwendet werden. Maxima kann Ausdrücke mit inversen Winkelfunktionen differenzieren und integrieren, Grenzwerte bestimmen sowie Gleichungen mit inversen Winkelfunktionen lösen.

  Das Argument der inversen Winkelfunktionen kann eine Taylorreihe sein. In diesem Fall wird die Taylorreihenentwicklung für die inverse Winkelfunktion vollständig ausgeführt.

  Die folgenden Optionsvariablen kontrollieren die Vereinfachung der inversen Winkelfunktionen:

  `distribute_over`

    Hat die Optionsvariable `distribute_over` den Wert `true` und ist das Argument der inversen Winkelfunktion eine Matrix, Liste oder Gleichung wird die Funktion auf die Elemente oder beiden Seiten der Gleichung angewendet. Der Standardwert ist `true`.

  `%piargs`

    Hat die Optionsvariable `%piargs` den Wert `true`, werden die inversen Winkelfunktionen für spezielle Werte als Argument vereinfacht. Der Standardwert ist `true`.

  `%iargs`

    Hat die Optionsvariable `%iargs` den Wert `true` und ist das Argument der inversen Winkelfunktion ein Vielfaches der imaginären Einheit `%i` werden die inversen Winkelfunktionen zu inversen Hyperbelfunktionen vereinfacht. Der Standardwert ist `true`.

  `triginverses`

    Hat die Optionsvariable `triginverses` den Wert `all` und ist das Argument die entsprechende Winkelfunktion vereinfachen die inversen Winkelfunktionen, zum Beispiel vereinfacht `asin(sin(x))` zu `x`. Der Standardwert ist `true` und die Vereinfachung wird nicht vorgenommen.

  `logarc`

    Hat die Optionsvariable `logarc` den Wert `true`, werden inverse Winkelfunktionen durch Logarithmusfunktionen ersetzt. Der Standardwert von `logarc` ist `false`.

Funktion: atan2 (y, x)

  Ist der Arkustangens mit zwei Argumenten, der in Maxima wie folgt definiert ist:

           atan(y/x)           x>0
           atan(y/x) + %pi     x<0 und y>=0
           atan(y/x) - %pi     x<0 und y<0
             %pi / 2           x=0 und y>0
           - %pi / 2           x=0 und y<0
           nicht definiert     x=0 und y=0

  Mit der obigen Definition ist der Wertebereich des Arkustangens `-%pi < atan2(y,x) <= %pi`. Alternativ kann der Arkustangens mit zwei Argumenten definiert werden als

                                    %i y + x
           atan2(y, x) = - %i log(-------------)
                                        2    2
                                  sqrt(y  + x )

  Der Arkustangens ist für das symbolische und numerische Rechnen geeignet. Für reelle Argumente x und y deren Vorzeichen bestimmt werden kann, vereinfacht Maxima den Arkustangens wie oben in der Definition angegeben. Sind beide Argumente Gleitkommazahlen wird ein numerisches Ergebnis berechnet. Die numerische Berechnung für komplexe Gleitkommazahlen ist nicht implementiert. Weiterhin kennt Maxima die speziellen Werte, wenn eines der Argumente x oder y unendlich ist. `atan2(x, x)` und `atan2(x, -x)` werden von Maxima vereinfacht, wenn Maxima das Vorzeichen von x ermitteln kann.

  Die Vereinfachung des Arkustangens wird weiterhin von den folgenden Optionsvariablen kontrolliert:

  `distribute_over`

    Hat die Optionsvariable `distribute_over` den Wert `true` und ist das Argument des Arkustangens eine Matrix, Liste oder Gleichung wird die Funktion auf die Elemente oder beiden Seiten der Gleichung angewendet. Der Standardwert ist `true`.

  `trigsign`

    Hat die Optionsvariable `trigsign` den Wert `true`, vereinfacht Maxima `atan2(-y, x)` zu `- atan2(y, x)`. Der Standardwert ist `true`.

  `logarc`

    Hat die Optionsvariable `logarc` den Wert `true`, wird der Arkustangens durch einen Ausdruck mit der Logarithmusfunktionen ersetzt. Der Standardwert von `logarc` ist `false`.

  Maxima kann Ausdrücke mit dem Arkustangens ableiten und integrieren sowie die Grenzwerte von Ausdrücken mit dem Arkustangens ermitteln.

  Beispiele:

      (%i1) atan2([-1, 1],[-1, 0, 1]);
                    3 %pi    %pi    %pi    3 %pi  %pi  %pi
      (%o1)     [[- -----, - ---, - ---], [-----, ---, ---]]
                      4       2      4       4     2    4
      (%i2) atan2(1,[-0.5, 0.5]);
      (%o2)         [2.034443935795703, 1.10714871779409]
      (%i3) assume(a>0)$

      (%i4) atan2(2*a, -2*a);
                                    3 %pi
      (%o4)                         -----
                                      4
      (%i5) diff(atan2(y,x), x);

                                       y
      (%o5)                       - -------
                                     2    2
                                    y  + x

      (%i6) integrate(atan2(y,x), x);
                                2    2
                         y log(y  + x )          y
      (%o6)              -------------- + x atan(-)
                               2                 x

Funktion: sin (z)
Funktion: cos (z)
Funktion: tan (z)
Funktion: cot (z)
Funktion: csc (z)
Funktion: sec (z)

  Die Winkelfunktionen: Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens, Kosekans und Sekans.

  Die Winkelfunktionen sind für das numerische und symbolische Rechnen geeignet. Die Winkelfunktionen können für reelle und komplexe Gleitkommazahlen in doppelter und in beliebiger Genauigkeit berechnet werden. Ist das Argument eine ganze oder rationale Zahl, werden die Winkelfunktionen nicht numerisch berechnet, sondern vereinfacht. Die numerische Berechnung kann mit den Optionsvariablen und Auswertungsschaltern `numer` und `float` erzwungen werden.

  Die Winkelfunktionen sind gerade oder ungerade und haben Spiegelsymmetrie. Maxima wendet diese Symmetrieeigenschaften automatisch bei der Vereinfachung von Ausdrücken mit Winkelfunktionen an.

  Ist das Argument z eine Matrix, eine Liste oder eine Gleichung werden die Winkelfunktionen auf die Elemente der Matrix, der Liste oder auf die beiden Seiten der Gleichung angewendet. Dieses Verhalten wird von der Optionsvariablen `distribute_over` kontrolliert.

  Winkelfunktionen können für das symbolische Rechnen verwendet werden. Maxima kann Ausdrücke mit Winkelfunktionen differenzieren und integrieren, Grenzwerte bestimmen sowie Gleichungen und Differentialgleichungen mit Winkelfunktionen lösen.

  Das Argument der Winkelfunktionen kann eine Taylorreihe sein. In diesem Fall wird die Taylorreihenentwicklung für die Winkelfunktion vollständig ausgeführt.

  Die folgenden Optionsvariablen kontrollieren die Vereinfachung der Winkelfunktionen:

  `distribute_over`

    Hat die Optionsvariable `distribute_over` den Wert `true` und ist das Argument der Winkelfunktion eine Matrix, Liste oder Gleichung wird die Funktion auf die Elemente oder beiden Seiten der Gleichung angewendet. Der Standardwert ist `true`.

  `%piargs`

    Hat die Optionsvariable `%piargs` den Wert `true`, werden die Winkelfunktionen für ganzzahlige und halbzahlige Vielfache der Konstanten `%pi` zu speziellen Werten vereinfacht. Der Standardwert ist `true`.

  `%iargs`

    Hat die Optionsvariable `%iargs` den Wert `true` und ist das Argument der Winkelfunktion ein Vielfaches der imaginären Einheit `%i` werden die Winkelfunktionen zu Hyperbelfunktionen vereinfacht. Der Standardwert ist `true`.

  `trigsign`

    Hat die Optionsvariable `trigsign` den Wert `true`, werden die gerade oder ungerade Symmetrie der Winkelfunktionen bei der Vereinfachung angewendet. Der Standardwert ist `true`.

  `triginverses`

    Hat die Optionsvariable `triginverses` den Wert `true` und ist das Argument eine inverse Winkelfunktion vereinfachen die Winkelfunktionen zu einem einfachen algebraischen Ausdruck, zum Beispiel vereinfacht `sin(acos(x))` zu `sqrt(1-x^2)`. Der Standardwert ist `true`.

  `trigexpand`

    Hat die Optionsvariable `trigexpand` den Wert `true`, dann werden die Winkelfunktionen für ein Argument expandiert, das eine Summe oder ein Produkt mit einer ganzen Zahl ist. Der Standardwert ist `false`.

  `exponentialize`

    Hat die Optionsvariable `exponentialize` den Wert `true`, dann werden die Winkelfunktionen in eine Exponentialform transformiert. Der Standardwert ist `false`.

  `halfangles`

    Hat die Optionsvariable `halfangles` den Wert `true`, dann werden die Winkelfunktionen für halbzahlige Argumente zu einem äquivalenten Ausdruck transformiert. Der Standardwert ist `false`.

  Beispiele:

  Im Folgenden werden Beispiele für die Sinusfunktion gezeigt. Numerische Berechnungen für Gleitkommazahlen:

      (%i1) sin(1+%i);
      (%o1)                      sin(%i + 1)
      (%i2) sin(1.0+%i);
      (%o2)       .6349639147847361 %i + 1.298457581415977
      (%i3) sin(1.0b0+%i);
      (%o3)     6.349639147847361b-1 %i + 1.298457581415977b0
      (%i4) sin(1.0b0),fpprec:45;
      (%o4)   8.41470984807896506652502321630298999622563061b-1

  Einige Vereinfachungen der Sinusfunktionen:

      (%i5) sin(%i*(x+y));
      (%o5)                    %i sinh(y + x)
      (%i6) sin(%pi/3);
                                   sqrt(3)
      (%o6)                        -------
                                      2
      (%i2) sin(x+y),trigexpand:true;
      (%o2)             cos(x) sin(y) + sin(x) cos(y)
      (%i3) sin(2*x+y),trigexpand:true;
                 2         2
      (%o3)  (cos (x) - sin (x)) sin(y) + 2 cos(x) sin(x) cos(y)

  Grenzwerte, Ableitungen und Integrale mit der Sinusfunktion:

      (%i4) limit(sin(x)/x,x,0);
      (%o4)                          1
      (%i5) diff(sin(sqrt(x))/x,x);
                        cos(sqrt(x))   sin(sqrt(x))
      (%o5)             ------------ - ------------
                              3/2            2
                           2 x              x
      (%i6) integrate(sin(x^3),x);

      (%o6)
                               1      3                     1        3
              gamma_incomplete(-, %i x ) + gamma_incomplete(-, - %i x )
                               3                            3
            - ---------------------------------------------------------
                                         12

  Reihenentwicklung der Sinusfunktion:

      (%i7) taylor(sin(x),x,0,3);

                                    3
                                   x
      (%o7)/T/                 x - -- + . . .
                                   6

Optionsvariable: %piargs

  Standardwert: `true`

  Hat `%piargs` den Wert `true`, werden Winkel- und Hyperbelfunktionen sowie deren Inverse zu algebraischen Konstanten vereinfacht, wenn das Argument ein ganzzahliges Vielfaches der folgenden Konstanten ist: `%pi`, `%pi/2`, `%pi/3`, `%pi/4` oder `%pi/6`.

  Maxima kennt weiterhin einige Identitäten, wenn die Konstante `%pi` mit einer Variablen multipliziert wird, die als ganzzahlig deklariert wurde.

  Beispiele:

      (%i1) %piargs : false$

      (%i2) [sin (%pi), sin (%pi/2), sin (%pi/3)];
                                      %pi       %pi
      (%o2)            [sin(%pi), sin(---), sin(---)]
                                       2         3

      (%i3) [sin (%pi/4), sin (%pi/5), sin (%pi/6)];
                            %pi       %pi       %pi
      (%o3)            [sin(---), sin(---), sin(---)]
                             4         5         6

      (%i4) %piargs : true$

      (%i5) [sin (%pi), sin (%pi/2), sin (%pi/3)];
                                      sqrt(3)
      (%o5)                    [0, 1, -------]
                                         2

      (%i6) [sin (%pi/4), sin (%pi/5), sin (%pi/6)];
                               1         %pi   1
      (%o6)                [-------, sin(---), -]
                            sqrt(2)       5    2

      (%i7) [cos (%pi/3), cos (10*%pi/3), tan (10*%pi/3),
             cos (sqrt(2)*%pi/3)];
                      1    1               sqrt(2) %pi
      (%o7)          [-, - -, sqrt(3), cos(-----------)]
                      2    2                    3

  Weitere Identitäten werden angewendet, wenn `%pi` und `%pi/2` mit einer ganzzahligen Variable multipliziert werden.

      (%i1) declare (n, integer, m, even)$

      (%i2) [sin (%pi * n), cos (%pi * m), sin (%pi/2 * m),
             cos (%pi/2 * m)];
                                            m/2
      (%o2)                  [0, 1, 0, (- 1)   ]

Optionsvariable: %iargs

  Standardwert: `true`

  Hat `%iargs` den Wert `true`, werden Winkelfunktionen zu Hyperbelfunktionen vereinfacht, wenn das Argument ein Vielfaches der imaginären Einheit `%i` ist.

  Die Vereinfachung zu Hyperbelfunktionen wird auch dann ausgeführt, wenn das Argument offensichtlich reell ist.

  Beispiele:

      (%i1) %iargs : false$

      (%i2) [sin (%i * x), cos (%i * x), tan (%i * x)];
      (%o2)           [sin(%i x), cos(%i x), tan(%i x)]

      (%i3) %iargs : true$

      (%i4) [sin (%i * x), cos (%i * x), tan (%i * x)];
      (%o4)           [%i sinh(x), cosh(x), %i tanh(x)]

  Auch wenn das Argument offensichtlich reell ist, wird zu einer Hyperbelfunktion vereinfacht.

      (%i1) declare (x, imaginary)$

      (%i2) [featurep (x, imaginary), featurep (x, real)];
      (%o2)                     [true, false]

      (%i3) sin (%i * x);
      (%o3)                      %i sinh(x)

Optionsvariable: halfangles

  Standardwert: `false`

  Hat `halfangles` den Wert `true`, werden Winkel- und Hyperbelfunktionen mit halbzahligen Argumenten `expr/2` vereinfacht.

  Für ein reelles Argument x im Intervall `0 < x < 2*%pi` vereinfacht der Sinus für ein halbzahliges Argument zu einer einfachen Formel:

                               sqrt(1 - cos(x))
                               ----------------
                                   sqrt(2)

  Ein komplizierter Faktor wird gebraucht, damit die Formel korrekt ist für ein komplexes Argument z:

                 realpart(z)
           floor(-----------)
                    2 %pi
      (- 1)                   (1 - unit_step(- imagpart(z))

                                  realpart(z)            realpart(z)
                            floor(-----------) - ceiling(-----------)
                                     2 %pi                  2 %pi
                      ((- 1)                                          + 1))

  Maxima kennt diesen Faktor und ähnliche Faktoren für die Sinus, Kosinus, Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus Funktionen. Für spezielle Argumente z dieser Funktionen vereinfachen diese Funktionen entsprechend.

  Beispiele:

      (%i1) halfangles:false;
      (%o1)                                false
      (%i2) sin(x/2);
                                              x
      (%o2)                               sin(-)
                                              2
      (%i3) halfangles:true;
      (%o3)                                true
      (%i4) sin(x/2);
                                                          x
                                                  floor(-----)
                                                        2 %pi
                            sqrt(1 - cos(x)) (- 1)
      (%o4)                 ----------------------------------
                                         sqrt(2)
      (%i5) assume(x>0, x<2*%pi)$
      (%i6) sin(x/2);
                                     sqrt(1 - cos(x))
      (%o6)                          ----------------
                                         sqrt(2)

Paket: ntrig

  Das Paket `ntrig` enthält Regeln, um Winkelfunktionen zu vereinfachen, die Argumente der Form `f(n %pi/10)` haben. f ist eine der Funktionen `sin`, `cos`, `tan`, `csc`, `sec` oder `cot`.

  Das Kommando `load(ntrig)` lädt das Paket. Die Vereinfachungen werden dann von Maxima automatisch ausgeführt.

Funktion: trigexpand (expr)

  Die Funktion `trigexpand` expandiert Winkel- und Hyperbelfunktionen im Ausdruck expr, die Summen und Vielfache von Winkeln als Argument haben. Die besten Ergebnisse werden erzielt, wenn der Ausdruck expr zunächst expandiert wird.

  Folgende Schalter kontrollieren `trigexpand`:

  `trigexpand`

    Wenn `true`, werden Sinus- und Kosinusfunktionen expandiert.

  `halfangles`

    Wenn `true`, werden Vereinfachungen für halbzahlige Argumente angewendet.

  `trigexpandplus`

    Wenn `true`, werden Winkelfunktionen, die eine Summe als Argument haben, wie zum Beispiel `sin(x+y)`, vereinfacht.

  `trigexpandtimes`

    Wenn `true`, werden Winkelfunktionen, die ein Produkt als Argument haben, wie zum Beispiel `sin(2 x)`, vereinfacht.

  Beispiele:

      (%i1) x+sin(3*x)/sin(x),trigexpand=true,expand;
                               2           2
      (%o1)               - sin (x) + 3 cos (x) + x

      (%i2) trigexpand(sin(10*x+y));
      (%o2)          cos(10 x) sin(y) + sin(10 x) cos(y)

Optionsvariable: trigexpandplus

  Standardwert: `true`

  `trigexpandplus` kontrolliert die Vereinfachung von Winkelfunktionen mit der Funktion `trigexpand` für den Fall, dass Winkelfunktionen mit Summen als Argumente auftreten. Hat `trigexpandplus` den Wert `true`, werden zum Beispiel Winkelfunktionen wie `sin(x+y)` vereinfacht.

Optionsvariable: trigexpandtimes

  Standardwert: `true`

  `trigexpandtimes` kontrolliert die Vereinfachung von Winkelfunktionen mit der Funktion `trigexpand` für den Fall, dass Winkelfunktionen mit Produkten als Argumente auftreten. Hat `trigexpandtimes` den Wert `true`, werden zum Beispiel Winkelfunktionen wie `sin(2 x)` vereinfacht.

Optionsvariable: triginverses

  Standardwert: `true`

  Kontrolliert die Vereinfachung, wenn das Argument einer Winkelfunktion oder Hyperbelfunktion eine der inversen Funktion ist.

  Hat `triginverses` den Wert `all`, vereinfachen beide Ausdrücke `atan(tan(x))` und `tan(atan(x))` zum Wert x.

  Hat `triginverses` den Wert `all`, wird `arcfun(fun(x))` nicht vereinfacht.

  Hat `triginverses` den Wert `false`, werden `arcfun(fun(x))` und `fun(arcfun(x))` nicht vereinfacht.

Funktion: trigreduce (expr, x)
Funktion: trigreduce (expr)

  Produkte und Potenzen von Winkelfunktionen und den Hyperbelfunktionen mit dem Argument x werden zu Funktionen vereinfacht, die Vielfache von x enthalten. `trigreduce` versucht auch, Sinus- und Kosinusfunktionen in einem Nenner zu eliminieren. Wird keine Variable x angegeben, werden alle Variablen im Ausdruck `expr` betrachtet.

  Siehe auch `poissimp`.

      (%i1) trigreduce(-sin(x)^2+3*cos(x)^2+x);
                     cos(2 x)      cos(2 x)   1        1
      (%o1)          -------- + 3 (-------- + -) + x - -
                        2             2       2        2

Optionsvariable: trigsign

  Standardwert: `true`

  Hat `trigsign` den Wert `true`, werden Winkelfunktionen mit einem negativem Argument vereinfacht. Zum Beispiel vereinfacht in diesem Fall `sin(-x)` zu `-sin(x)`.

Funktion: trigsimp (expr)

  Wendet die Identitäten `sin(x)^2 + cos(x)^2 = 1` und `cosh(x)^2 - sinh(x)^2 = 1` an, um Ausdrücke, die Funktionen wie `tan`, `sec`, usw. enthalten, zu Ausdrücken mit den Funktionen `sin`, `cos`, `sinh`, `cosh` zu vereinfachen.

  Die Anwendung von Funktionen wie `trigreduce`, `ratsimp` und `radcan` kann den Ausdruck weiter vereinfachen.

  Das Kommando `demo(trgsmp)` zeigt einige Beispiele.

Funktion: trigrat (expr)

  Gives a canonical simplifyed quasilinear form of a trigonometrical expression; expr is a rational fraction of several `sin`, `cos` or `tan`, the arguments of them are linear forms in some variables (or kernels) and `%pi/n` (n integer) with integer coefficients. The result is a simplified fraction with numerator and denominator linear in `sin` and `cos`. Thus `trigrat` linearize always when it is possible.

      (%i1) trigrat(sin(3*a)/sin(a+%pi/3));
      (%o1)            sqrt(3) sin(2 a) + cos(2 a) - 1

  The following example is taken from Davenport, Siret, and Tournier, Calcul Formel, Masson (or in English, Addison-Wesley), section 1.5.5, Morley theorem.

      (%i1) c : %pi/3 - a - b$
      (%i2) bc : sin(a)*sin(3*c)/sin(a+b);

                                                %pi
                        sin(a) sin(3 (- b - a + ---))
                                                 3
      (%o2)             -----------------------------
                                 sin(b + a)

      (%i3) ba : bc, c=a, a=c;

                                               %pi
                          sin(3 a) sin(b + a - ---)
                                                3
      (%o3)               -------------------------
                                        %pi
                                sin(a - ---)
                                         3

      (%i4) ac2 : ba^2 + bc^2 - 2*bc*ba*cos(b);

               2         2         %pi
            sin (3 a) sin (b + a - ---)
                                    3
      (%o4) ---------------------------
                      2     %pi
                   sin (a - ---)
                             3
                                             %pi
       - (2 sin(a) sin(3 a) sin(3 (- b - a + ---)) cos(b)
                                              3
                   %pi            %pi
       sin(b + a - ---))/(sin(a - ---) sin(b + a))
                    3              3
            2       2              %pi
         sin (a) sin (3 (- b - a + ---))
                                    3
       + -------------------------------
                      2
                   sin (b + a)

      (%i5) trigrat (ac2);

      (%o5) - (sqrt(3) sin(4 b + 4 a) - cos(4 b + 4 a)
       - 2 sqrt(3) sin(4 b + 2 a) + 2 cos(4 b + 2 a)
       - 2 sqrt(3) sin(2 b + 4 a) + 2 cos(2 b + 4 a)
       + 4 sqrt(3) sin(2 b + 2 a) - 8 cos(2 b + 2 a) - 4 cos(2 b - 2 a)
       + sqrt(3) sin(4 b) - cos(4 b) - 2 sqrt(3) sin(2 b) + 10 cos(2 b)
       + sqrt(3) sin(4 a) - cos(4 a) - 2 sqrt(3) sin(2 a) + 10 cos(2 a)
       - 9)/4

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