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#### 22.2.2 Hankel-Funktionen

Funktion: hankel_1 (v, z)

  Die Hankel-Funktion der ersten Art der Ordnung v mit dem Argument z. Siehe A & S 9.1.3. `hankel_1` ist definiert als

            H1 (z) = J (z) + %i Y (z)
              v       v          v

  Die Hankel-Funktion `hankel_1` ist für das numerische und symbolische Rechnen geeignet.

  Maxima berechnet `hankel_1` numerisch für reelle und komplexe Gleitkommazahlen als Argumente für v und z. Mit der Funktion `float` oder der Optionsvariablen `numer` kann die numerische Auswertung erzwungen werden, wenn die Argumente Zahlen sind. Die numerische Berechnung für große Gleitkommazahlen ist nicht implementiert. In diesem Fall gibt Maxima eine Substantivform zurück.

  Hat die Optionsvariable `besselexpand` den Wert `true`, werden Hankel-Funktionen `hankel_1` mit einer halbzahligen Ordnung v als Sinus- und Kosinusfunktionen entwickelt.

  Maxima kennt die Ableitung der Hankel-Funktion `hankel_1` nach dem zweiten Argument `z`.

  Siehe auch die Funktion `hankel_2` sowie die Bessel-Funktionen in Bessel-Funktionen.

  Beispiele:

  Numerische Berechnung.

      (%i1) hankel_1(1, 0.5);
      (%o1)       .2422684576748738 - 1.471472392670243 %i
      (%i2) hankel_1(1, 0.5+%i);
      (%o2)      - .2558287994862166 %i - 0.239575601883016

  Für eine komplex Ordnung kann Maxima keinen numerischen Wert berechnet. Das Ergebnis ist eine Substantivform.

      (%i3) hankel_1(%i, 0.5+%i);
      (%o3)                hankel_1(%i, %i + 0.5)

  Entwicklung der Hankel-Funktion `hankel_1`, wenn die Optionsvariable `besselexpand` den Wert `true` hat.

      (%i4) hankel_1(1/2, z), besselexpand:true;
                     sqrt(2) sin(z) - sqrt(2) %i cos(z)
      (%o4)          ----------------------------------
                             sqrt(%pi) sqrt(z)

  Ableitung der Hankel-Funktion `hankel_1` nach dem Argument z. Die Ableitung nach der Ordnung v ist nicht implementiert. Maxima gibt eine Substantivform zurück.

      (%i5)  diff(hankel_1(v,z), z);
                   hankel_1(v - 1, z) - hankel_1(v + 1, z)
      (%o5)        ---------------------------------------
                                      2
      (%i6)  diff(hankel_1(v,z), v);
                             d
      (%o6)                  -- (hankel_1(v, z))
                             dv

Funktion: hankel_2 (v, z)

  Die Hankel-Funktion der zweiten Art der Ordnung v mit dem Argument z. Siehe A & S 9.1.4. `hankel_2` ist definiert als

            H2 (z) = J (z) - %i Y (z)
              v       v          v

  Die Hankel-Funktion `hankel_2` ist für das numerische und symbolische Rechnen geeignet.

  Maxima berechnet `hankel_2` numerisch für reelle und komplexe Gleitkommazahlen als Argumente für v und z. Mit der Funktion `float` oder der Optionsvariablen `numer` kann die numerische Auswertung erzwungen werden, wenn die Argumente Zahlen sind. Die numerische Berechnung für große Gleitkommazahlen ist nicht implementiert. In diesem Fall gibt Maxima eine Substantivform zurück.

  Hat die Optionsvariable `besselexpand` den Wert `true`, werden Hankel-Funktionen `hankel_2` mit einer halbzahligen Ordnung v als Sinus- und Kosinusfunktionen entwickelt.

  Maxima kennt die Ableitung der Hankel-Funktion `hankel_2` nach dem zweiten Argument `z`.

  Für Beispiele siehe `hankel_1`. Siehe auch die Bessel-Funktionen in Bessel-Funktionen.

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