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### 22.7 Hypergeometrische Funktionen

Funktion: %m [k, u] (z)

  Ist die Whittaker M Funktion `M[k,u](z) = exp(-z/2) * z^(1/2+u) * M(1/2+u-k, 1+2*u, z)`. Siehe A & S 13.1.32 für die Definition.

Funktion: %w [k, u] (z)

  Ist die Whittaker W Funktion. Siehe A & S 13.1.33 für die Definition.

Funktion: %f [p,q] ([a], [b], z)

  Ist die hypergeometrische Funktion `F[p,q](a_1, ..., a_p; b_1,..., b_q; z)`. Das Argument a ist eine Liste mit den p-Elementen a_i und das Argument b die Liste mit den q-Elementen b_i.

Funktion: hypergeometric ([a_1, …, a_p], [b_1, … ,b_q], z)

  Ist die hypergeometrische Funktion. Im Unterschied zu den Funktionen `%f` und `hgfred`, ist die Funktion `hypergeometric` eine vereinfachende Funktion. `hypergeometric` unterstützt die Berechnung von numerischen Werten für reelle und komplexe Gleitkommazahlen in doppelter und mit beliebiger Genauigkeit. Für die Gaußsche hypergeometrische Funktion ist p = 2 und q = 1. In diesem Fall wird auch die numerische Berechnung außerhalb des Einheitskreises unterstützt.

  Hat die Optionsvariable `expand_hypergeometric` den Wert `true`, das ist der Standardwert, und eines der Argumente `a_1`, …, `a_p` ist eine negative ganze Zahl, gibt `hypergeometric` ein Polynom zurück.

  Beispiel:

       (%i1)  hypergeometric([],[],x);
       (%o1) %e^x

  Expansion in ein Polynom für eine negative ganze Zahl, wenn die Optionsvariable `expand_hypergeometric` den Wert `true` hat.

       (%i2) hypergeometric([-3],[7],x);
       (%o2) hypergeometric([-3],[7],x)

       (%i3) hypergeometric([-3],[7],x), expand_hypergeometric : true;
       (%o3) -x^3/504+3*x^2/56-3*x/7+1

  Numerische Berechnung in doppelter und beliebiger Gleitkommagenauigkeit.

      (%i4) hypergeometric([5.1],[7.1 + %i],0.42);
      (%o4)       1.346250786375334 - 0.0559061414208204 %i
      (%i5) hypergeometric([5,6],[8], 5.7 - %i);
      (%o5)     .007375824009774946 - .001049813688578674 %i
      (%i6) hypergeometric([5,6],[8], 5.7b0 - %i), fpprec : 30;
      (%o6) 7.37582400977494674506442010824b-3
                                - 1.04981368857867315858055393376b-3 %i

Funktion: parabolic_cylinder_d (v, z)

  Die parabolische Zylinderfunktion `parabolic_cylinder_d(v,z)`.

  Die parabolischen Zylinderfunktionen sind in Abramowitz and Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Kapitel 19 definiert.

  Die parabolischen Zylinderfunktionen können als Ergebnis der Funktion `hgfred` auftreten. Maxima kennt keine weiteren Eigenschaften.

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