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### 23.4 Funktionen und Variablen für Fourierreihen

Funktion: equalp (x, y)

  Gibt `true` zurück, wenn `equal(x, y)` das Ergebnis `true` hat. Ansonsten ist das Ergebnis `false`.

Funktion: remfun (f, expr)
Funktion: remfun (f, expr, x)

  `remfun(f, expr` ersetzt `f(arg)` durch arg im Ausdruck expr.

  `remfun(f, expr, x)` ersetzt `f (arg)` durch arg im Ausdruck expr nur dann, wenn arg die Variable x enthält.

Funktion: funp (f, expr)
Funktion: funp (f, expr, x)

  `funp(f, expr)` hat das Ergebnis `true`, wenn der Ausdruck expr die Funktion f enthält.

  `funp(f, expr, x)` hat das Ergebnis `true`, wenn der Ausdruck expr die Funktion f enthÃ¤lt und die Variable x ein Argument der Funktion f ist.

Funktion: absint (f, x, halfplane)
Funktion: absint (f, x)
Funktion: absint (f, x, a, b)

  `absint(f, x, halfplane)` gibt das unbestimmte Integral der Funktion f für die Variable x zurück. Das Integral wird in der angegebenen Halbebene `pos`, `neg` oder für beide Halbebenen mit `both` berechnet. Der Integrand kann die Betragsfunktion enthalten: `abs(x)`, `abs(sin(x))`, `abs(a) * exp(-abs(b) * abs(x))`.

  `absint(f, x)` ist äquivalent zu `absint(f, x, pos)`.

  `absint(f, x, a, b)` gibt das bestimmte Integral der Funktion f für die Variable x in den Grenzen a und b zurück. Der Integrand kann die Betragsfunktion enthalten.

Funktion: fourier (f, x, l)

  Berechnet die Fourier-Koeffizienten `a[0]`, `a[n]` und `b[n]` der Funktion `f(x)` für das Intervall `[-l, l]`. Die Fourierreihe ist definiert als:

               inf
               ====
               \             %pi n x           %pi n x
        f(x) =  >    (b  sin(-------) + a  cos(-------))
               /       n        l        n        l
               ====
               n = 0

  Die Koeffizienten der Fourierreihe werden folgendermaßen berechnet:

                           l
                          /
                      - 1 [
            a  = 1/2 l    I    f(x) dx
             0            ]
                          /
                           - l

                       l
                      /
                  - 1 [                  - 1
            a  = l    I    f(x) cos(%pi l    n x) dx
             n        ]
                      /
                       - l

                        l
                       /
                  - 1 [                  - 1
            b  = l    I    f(x) sin(%pi l    n x) dx
             n        ]
                      /
                       - l

  `fourier` weist die Fourier-Koeffizienten Zwischenmarken zu. Die Zwischenmarken werden als eine Liste zurückgegeben.

  Der Index der Summe ist immer das Symbol n. Sinus- und Kosinusfunktionen mit ganzzahligen Vielfachen von `%pi` werden nicht automatisch vereinfacht. Dies kann mit der Funktion `foursimp` erreicht werden, der als Argument die Liste der Fourier-Koeffizienten übergeben wird.

  Mit der Funktion `fourexpand` kann die Fourierreihe aus den Fourier-Koeffizienten konstruiert werden. Siehe auch die Funktion `totalfourier`.

  Mit den Funktionen `fourcos` und `foursin` werden jeweils die Koeffizienten der Kosinus- und Sinus-Entwicklung berechnet.

  Beispiel:

      (%i1) load(fourie)$

      (%i2) fourier(x, x, 1);
      (%t2)                        a  = 0
                                    0

      (%t3)                        a  = 0
                                    n

                              sin(%pi n)   cos(%pi n)
      (%t4)           b  = 2 (---------- - ----------)
                       n          2  2       %pi n
                               %pi  n

      (%o4)                    [%t2, %t3, %t4]
      (%i5) foursimp(%);
      (%t5)                        a  = 0
                                    0

      (%t6)                        a  = 0
                                    n

                                             n
                                      2 (- 1)
      (%t7)                    b  = - --------
                                n      %pi n

      (%o7)                    [%t5, %t6, %t7]
      (%i8) fourexpand(%, x, 1, inf);
                            inf
                            ====       n
                            \     (- 1)  sin(%pi n x)
                          2  >    -------------------
                            /              n
                            ====
                            n = 1
      (%o8)             - ---------------------------
                                      %pi

Funktion: foursimp (l)

  `foursimp` wird auf das Ergebnis der Funktion `fourier` angewendet, um Sinus- und Kosinus-Funktionen zu vereinfachen, die ganzzahlige Vielfache von `%pi` enthalten. Das Argument l ist eine Liste mit den Koeffizienten der Fourierreihe, für die die Vereinfachung ausgeführt werden soll.

  `sin(n %pi)` wird zu `0` vereinfacht, wenn die Optionsvariable `sinnpiflag` den Wert `true` hat, und `cos(n %pi)` wird zu `(-1)^n`, wenn die Optionsvariable `cosnpiflag` den Wert `true` hat.

  Siehe die Funktion `fourier` für ein Beispiel.

Optionsvariable: sinnpiflag

  Standardwert: `true`

  Kontrolliert die Vereinfachung der Sinus-Funktion durch die Funktion `foursimp`. Siehe die Funktion `foursimp`.

Optionsvariable: cosnpiflag

  Standardwert: `true`

  Kontrolliert die Vereinfachung der Kosinus-Funktion durch die Funktion `foursimp`. Siehe die Funktion `foursimp`.

Funktion: fourexpand (l, x, p, limit)

  Konstruiert aus der Liste der Fourier-Koeffizienten l eine Fourierreihe mit limit Termen. Das Argument limit kann `inf` sein. Die Argumente x und p haben dieselbe Bedeutung wie für die Funktion `fourier`.

  Siehe die Funktion `fourier` für ein Beispiel.

Funktion: fourcos (f, x, p)

  Gibt die Kosinus-Koeffizienten einer Fourierreihe für die Funktion `f(x)` zurück, die auf dem Intervall `[0, p]` definiert ist.

Funktion: foursin (f, x, p)

  Gibt die Sinus-Koeffizienten einer Fourierreihe für die Funktion `f(x)` zurück, die auf dem Intervall `[0, p]` definiert ist.

Funktion: totalfourier (f, x, l)

  Gibt die Fourierreihe der Funktion f(x) für das Intervall `[-l, l]` zurück. Das Ergebnis wird berechnet, indem die nacheinander die Funktionen `foursimp` und `fourexpand` auf das Ergebnis der Funktion `fourier` angewendet werden.

  Beispiel:

      (%i1) load(fourie)$

      (%i2) totalfourier(x, x, 1);
      (%t2)                        a  = 0
                                    0

      (%t3)                        a  = 0
                                    n

                              sin(%pi n)   cos(%pi n)
      (%t4)           b  = 2 (---------- - ----------)
                       n          2  2       %pi n
                               %pi  n

      (%t5)                        a  = 0
                                    0

      (%t6)                        a  = 0
                                    n

                                             n
                                      2 (- 1)
      (%t7)                    b  = - --------
                                n      %pi n

                            inf
                            ====       n
                            \     (- 1)  sin(%pi n x)
                          2  >    -------------------
                            /              n
                            ====
                            n = 1
      (%o7)             - ---------------------------
                                      %pi

Funktion: fourint (f, x)

  Konstruiert eine Liste der Fourierintegral-Koeffizienten der Funktion `f(x)`, die auf dem Intervall `[minf, inf]` definiert ist.

Funktion: fourintcos (f, x)

  Gibt die Koeffizienten des Kosinus-Fourierintegrals der Funktion `f(x)` zurück, die auf dem Intervall `[0, inf]` definiert ist.

Funktion: fourintsin (f, x)

  Gibt die Koeffizienten des Sinus-Fourierintegrals der Funktion `f(x)` zurück, die auf dem Intervall `[0, inf]` definiert ist.

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