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#### 20.2.2.4 Tensoren in gekrümmten Räumen

Funktion: imetric (g)
Systemvariable: imetric

  Spezifiziert die Metrik, indem der Variablen `imetric` der Wert `g` zugewiesen wird. Die Eigenschaften für die Verjüngung von Tensoren werden mit den Kommandos `defcon(g)` und `defcon(g, g, kdelta)` initialisiert.

Funktion: idim (n)

  Die Funktion `idim` setzt die Dimension der Metrik zu n. Die Variable `dim` auf den Wert n gesetzt und die antisymmetrischen Eigenschaften des Levi-Civita-Symbols für die Dimension n werden initialisiert.

Funktion: ichr1 ([i, j, k])

  Gibt das Christoffel-Symbol der ersten Art zurück, das definiert ist als

             (g      + g      - g     )/2 .
               ik,j     jk,i     ij,k

  Um das Christoffel-Symbol für eine spezielle Metrik auszuwerten, muss der Optionsvariablen `imetric` ein Wert zugewiesen werden. Siehe dazu das Beispiel zu `ichr2`.

Funktion: ichr2 ([i, j], [k])

  Gibt das Christoffel-Symbol der zweiten Art zurück, das definiert ist als

                             ks
         ichr2([i,j],[k]) = g    (g      + g      - g     )/2
                                   is,j     js,i     ij,s

Funktion: icurvature ([i, j, k], [h])

  Gibt den Riemannschen Krümmungstensor in einer Darstellung mit Christoffel-Symbolen zurück:

                  h             h            h         %1         h
        icurvature     = - ichr2      - ichr2     ichr2    + ichr2
                  i j k         i k,j        %1 j      i k        i j,k
                                  h          %1
                           + ichr2      ichr2
                                  %1 k       i j

Funktion: covdiff (expr, v_1, v_2, …)

  Gibt die kovariante Ableitung des Ausdruck expr nach den Variablen v_i in einer Darstellung mit Christoffel-Symbolen der zweiten Art `ichr2` zurück. Um den erhaltenen Ausdruck auszuwerten, kann das Kommando `ev(expr, ichr2)`.

      (%i1) load(itensor);
      (%o1)      /share/tensor/itensor.lisp
      (%i2) entertensor()$
      Enter tensor name: a;
      Enter a list of the covariant indices: [i,j];
      Enter a list of the contravariant indices: [k];
      Enter a list of the derivative indices: [];

                                            k
      (%t2)                                a
                                            i j

      (%i3) ishow(covdiff(%,s))$
                   k         %1     k         %1     k
      (%t3)     - a     ichr2    - a     ichr2    + a
                   i %1      j s    %1 j      i s    i j,s

                   k     %1
            + ichr2     a
                   %1 s  i j
      (%i4) imetric:g;
      (%o4)                                  g
      (%i5) ishow(ev(%th(2),ichr2))$
               %1 %4  k
              g      a     (g       - g       + g      )
                      i %1   s %4,j    j s,%4    j %4,s
      (%t5) - ------------------------------------------
                                  2
          %1 %3  k
         g      a     (g       - g       + g      )
                 %1 j   s %3,i    i s,%3    i %3,s
       - ------------------------------------------
                             2
          k %2  %1
         g     a    (g        - g        + g       )
                i j   s %2,%1    %1 s,%2    %1 %2,s     k
       + ------------------------------------------- + a
                              2                         i j,s
      (%i6)

Funktion: lorentz_gauge (expr)

  Wendet die Lorenz-Eichung an, indem alle indizierten Größen in expr zu Null gesetzt werden, die einen zu einem kontravarianten Index identischen Ableitungsindex haben.

Funktion: igeodesic_coords (expr, name)

  Bewirkt, dass nicht abgeleitete Christoffel-Symbole und erste Ableitungen des Metriktensors im Ausdruck expr verschwinden. Das Argument name bezeichnet die Metrik name, wenn im Ausdruck expr vorhanden und die Christoffel-Symbole werden mit ichr1 und ichr2 bezeichnet.

  Beispiele:

      (%i1) load(itensor);
      (%o1)      /share/tensor/itensor.lisp
      (%i2) ishow(icurvature([r,s,t],[u]))$

                   u            u         %1         u
      (%t2) - ichr2      - ichr2     ichr2    + ichr2
                   r t,s        %1 s      r t        r s,t

                                                    u         %1
                                             + ichr2     ichr2
                                                    %1 t      r s

      (%i3) ishow(igeodesic_coords(%,ichr2))$
                                       u            u
      (%t3)                       ichr2      - ichr2
                                       r s,t        r t,s
      (%i4) ishow(igeodesic_coords(icurvature([r,s,t],[u]),ichr2)+
                  igeodesic_coords(icurvature([s,t,r],[u]),ichr2)+
                  igeodesic_coords(icurvature([t,r,s],[u]),ichr2))$
                   u            u            u            u
      (%t4) - ichr2      + ichr2      + ichr2      - ichr2
                   t s,r        t r,s        s t,r        s r,t

                                                   u            u
                                            - ichr2      + ichr2
                                                   r t,s        r s,t
      (%i5) canform(%);
      (%o5)                                  0

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