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### 16.1 Funktionen und Variablen für Grenzwerte

Optionsvariable: lhospitallim

  Standardwert: 4

  Die Optionsvariable `lhospitallim` enthält die maximale Zahl an Iterationen, für die die L’Hospitalsche Regel von der Funktion `limit` angewendet wird. Damit wird verhindert, dass die Funktion `limit` in eine unendliche Schleife gerät.

Funktion: limit (expr, x, val, dir)
Funktion: limit (expr, x, val)
Funktion: limit (expr)

  Berechnet den Grenzwert des Ausdrucks expr, wenn die reelle Variable x gegen den Wert val in Richtung dir geht. Die Richtung dir kann die Werte plus für einen Grenzwert von oben und minus für einen Grenzwert von unten haben. Für einen zweiseitigen Grenzwert wird die Richtung dir nicht angegeben.

  Maxima verwendet die folgenden Symbole für unendliche und infinitesimale Größen sowie undefinierte und unbestimmte Größen, die als Ergebnis eines Grenzwertes oder als Wert für die Bestimmung eines Grenzwertes auftreten können:

  `inf`

    positiv unendlich

  `minf`

    negativ unendlich

  `infinity`

    komplex unendlich

  `zeroa`

    positiv unendlich klein

  `zerob`

    negativ unendlich klein

  `und`

    ein nicht definiertes Ergebnis

  `ind`

    ein unbestimmtes Ergebnis

  Die Optionsvariable `lhospitallim` enthält die maximale Zahl an Iterationen, für die die L’Hospitalsche Regel von der Funktion `limit` angewendet wird.

  Hat `tlimswitch` den Wert `true`, nutzt die Funktion `limit` eine Taylor-Reihenentwicklung, wenn der Grenzwert nicht mit anderen Methoden bestimmt werden kann.

  Hat die Optionsvariable `limsubst` den Wert `false`, wird die Ersetzung von `limit(f(g(x)),x,x0)` durch `f(limit(g(x),x,x0))` für eine unbekannte Funktion `f` verhindert. Siehe auch `limsubst`.

  `limit` kann mit einem Argument aufgerufen werden, um Ausdrücke zu vereinfachen, die unendliche oder infinitesimale Größen enthalten. Zum Beispiel wird `limit(inf-1)` zu `inf` vereinfacht.

  Der Algorithmus ist in der folgenden Arbeit beschrieben: Wang, P., "Evaluation of Definite Integrals by Symbolic Manipulation", Ph.D. thesis, MAC TR-92, October 1971.

  Beispiele:

      (%i1) limit(x*log(x),x,0,plus)
      (%o1)                           0
      (%i2) limit((x+1)^(1/x),x,0)
      (%o2)                          %e
      (%i3) limit(%e^x/x,x,inf)
      (%o3)                          inf
      (%i4) limit(sin(1/x),x,0)
      (%o4)                          ind

Optionsvariable: limsubst

  Standardwert: `false`

  Ist eine Funktion `f` teil eines Ausdrucks für den Maxima den Grenzwert sucht, dann wird folgende Ersetzung ausgeführt:

         limit   f(g(x)) = f(limit   g(x))
         x -> x0             x -> x0

  Hat die Optionsvariable `limsubst` den Wert `false`, führt `limit` die oben gezeigte Ersetzung nicht für unbekannte Funktionen `f` aus. Dies vermeidet Fehler wie zum Beispiel ein Ergebnis von 1 für den Grenzwert `limit (f(n)/f(n+1), n, inf)`. Hat `limsubst` den Wert `true`, führt Maxima die oben gezeigte Ersetzung auch für unbekannte Funktionen `f` aus.

  Beispiele:

  Die Funktion `f` ist nicht definiert. Maxima gibt im ersten Fall eine Substantivform zurück. Im zweiten Fall nimmt Maxima den Grenzwert für die unbekannte Funktion als `f(10)` an.

      (%i1) limit(f(x),x,10),limsubst:false;
      (%o1)                     limit   f(x)
                                x -> 10
      (%i2) limit(f(x),x,10),limsubst:true;
      (%o2)                         f(10)

Funktion: tlimit (expr, x, val, dir)
Funktion: tlimit (expr, x, val)
Funktion: tlimit (expr)

  Bestimmt den Grenzwert mit Hilfe der Taylor-Reihenwicklung des Ausdrucks `expr`, wenn die Variable x gegen den Wert `val` aus der Richtung dir geht. Diese Methode wird von `limit` angewendet, wenn die Optionsvariable `tlimswitch` den Wert `true` ist. Das ist der Standardwert.

Optionsvariable: tlimswitch

  Standardwert: `true`

  Hat `tlimswitch` den Wert `true`, nutzt die Funktion `limit` eine Taylor-Reihenentwicklung, wenn der Grenzwert nicht mit anderen Methoden bestimmt werden kann.

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